Leonardo Fibonacci dit Léonard de Pise Mathématicien italien (Pise, v.1170, v. 1250)

Cet illustre mathématicien du Moyen Age est à l’origine de la notation arithmétique, dite arabe, que nous utilisons aujourd’hui. Voici ce que nous savons de lui :

Léonard de Pise, plus connu sous son surnom Fibonacci naît vers 1170 à Pise (Italie), alors ville commerçante d’une grande puissance maritime. Le père de Fibonacci, Gugiliemo Bonacci, était secrétaire de la République de Pise (responsable de la direction du bureau des douanes d’un comptoir Pisan à Bougie (Bujania), un port méditerranéen au nord-est de l’Algérie, pour le compte de l’Ordre des Marchands de Pise) à partir d’environ 1192. Les bougies, dont le nom vient de là, étaient exportées vers la France. Cette ville est cependant aujourd’hui en ruines.

Il s’appelait lui-même Fibonacci, un raccourci pour " filius Bonacci " en latin qui signifie fils de Bonacci. Fibonacci écrivait également parfois Bonacci ou Bonacij. Certains pensent que Bonacci pouvait être une sorte de surnom signifiant fils chanceux (littéralement fils de bonne fortune ). Il est sûrement plus correct de l’appeler Léonard de Pise, ou en latin, Leonardo Pisano.

Un peu après 1192, Bonacci fit venir son fils auprès de lui. Il désirait que celui-ci devienne marchand comme lui. Ainsi il concentra son éducation sur les méthodes de calcul, et en particulier celles indo-arabes, encore méconnues en Europe. Fibonacci aida beaucoup son père dans son commerce. Il voyagea également beaucoup. En effet, Bonacci l’envoya en Egypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence. C'est ainsi qu’il a l’occasion de se confronter aux travaux de mathématiciens arabes comme Al Khwarizmi. A travers ses voyages autour de la Méditerranée, Léonard de Pise prend connaissance du système de numération indienne et des différents systèmes de calcul pratiqués en Orient.

De retour dans sa ville natale, il se lance dans la rédaction d’un ouvrage qui contribuera de manière importante aux progrès des mathématiques, en particulier de l’algèbre. Liber abbaci, premier traité en latin sur le sujet, sort ainsi en 1202. Cet ouvrage au titre trompeur, (signifiant Livre de l’abaque), porte essentiellement sur des méthodes algébriques et des problèmes dans lesquels Fibonacci se prononce pour l’usage des nombres indo-arabes (y compris le zéro). Il se base sur les connaissances arithmétiques et algébriques qu'il avait accumulées pendant ses voyages. Ce livre eut un grand succès et fut très largement lu pendant les deux siècles qui suivirent.

Ainsi, l’Empereur Frédéric II s’était depuis longtemps intéressé au travail de Fibonacci à travers les savants de sa cour qui avaient correspondu avec lui depuis son retour à Pise vers 1200. Ce fut l’un deux, Maître Dominicus, qui présenta Fibonacci à Frédéric, de passage à Pise.

De 1202 à 1220, Fibonacci n’écrit plus rien. D’ailleurs, l’activité du mathématicien se serait peut-être limitée au Liber Abacci sans l’intervention de Maître Dominicus, un des philosophes de la cour de Frédéric II. Il l’incita à réaliser sa deuxième œuvre. L’auteur voulait réaliser un document parfait, utile aussi bien aux passionnés de subtilité qu’aux praticiens et cet objectif fut atteint.

En 1220, il publie Practica geometriae, regroupant l’ensemble du savoir de l’époque en géométrie et trigonométrie (Euclide, Héron, etc.). Ce livre eut un aussi grand succès que le Liber Abacci . Ce second ouvrage était un hommage indirect du mathématicien pisan à Frédéric de Souabe qui fut couronné empereur à la fin de cette année 1220. Ce dernier se révéla le plus cultivé et le plus organisé des empereurs germaniques.

Vers 1223, Frédéric II organisa donc un défi de mathématiques afin de tester Fibonacci dont la réputation était très grande. Celui-ci remporta la compétition en résolvant tous les problèmes posés, aucun des autres compétiteurs n’étant parvenus d’ailleurs à en résoudre un seul. Ces problèmes étaient posés par Maître Giovanni de Palerme, un autre philosophe de la Cour. De tels défis étaient habituels à cette époque, et plaisaient à Frédéric II. D’autre part, depuis sa jeunesse, Fibonacci avait l’habitude d’y participer.

Voici l'énoncé des problèmes posés :

x^2 + 5 = y^2

x^2 - 5 = z^2

La réponse exacte était 41/12 .

Un autre problème consistait à résoudre une équation du troisième degré :

x^3+ 2 x^2 + 10 x = 20

Léonardo montra qu'il ne pouvait s'agir de nombres rationnels ou faisant appel à des racines carrées et donna une approximation de la solution.

Puis d'autres ouvrages suivirent, dédié à Frédéric II, c'est ainsi que parurent :

- Liber quadratorum (1225, signifiant le livre des cercles) un livre de problèmes numériques. C’est une partie très impressionnante du travail de Fibonacci.

- Flos (1225), un regroupement de solutions aux problèmes posés en présence de Frédéric II.

Après 1228, la vie de Fibonacci nous est presque inconnue. Un seul document connu se réfère à lui. Il s’agit d’un décret daté de 1241 notifiant l’attribution par la République de Pise d’un salaire annuel de vingt lires au " sage et discret Maître Léonardo Bigollo ". Ce salaire lui fut donné en reconnaissance des services rendus à la cité et aux citoyens en qualité de conseiller.

Fibonacci mourut peu après, probablement à Pise.

Malheureusement, Fibonacci ayant vécu avant que l’imprimerie n’existe, ses livres étaient écrits à la main. Donc la seule manière de posséder un de ses livres était de le faire recopier. Etant donné que de nombreuses copies furent établies, nous avons accès aux écrits de Fibonacci. Cependant, nous savons qu’il écrivit d’autres textes qui sont perdus, tels que son livre sur l’arithmétique commerciale Di minor guisa ou son commentaire sur le livre X des Eléments d’Euclide.

De ces travaux, il nous reste la célèbre suite qui porte son nom qui demeure un des éléments essentiels de sa notoriété :

Historiquement le premier exemple d'une suite récurrente, la suite à été présenté par Fibonnaci comme la solution d'un problème de lapins. Supposons que chaque couple de nouveau-nés ait besoin d'un mois pour grandir et que, à partir du second mois, ils se reproduisent, Si l'on commence avec un couple, combien en aura-t-on à la fin de mois? Si l'on note (un) la suite de Fibonacci, elle est définie par : u1=0; u2=1 et un= un-1+un-2 pour tout n>2 La suite a les propriétés suivantes : un et un+1 sont premiers entre eux lim(un/un+1)=(racine(5)-1)/2 (nombre d'or) En Mathématiques, on parle également des suites de Fibonacci généralisées, définies par: un=run-1+sun-2 pour tout n>2 u1=a; u2=b avec a,b,r,s réels fixés.

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers. Voici le début de cette suite :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... jusqu'à l'infini.

Un nombre de la suite est le résultat de la somme de ses deux précédents (N3 = N1 + N2). Voici maintenant pourquoi le nombre d'or et la suite de Fibonacci sont étroitement liés:

1/0 = Ceci n'existe pas.

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.6666...

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625

21/13 = 1.61538...

34/21 = 1.61904...

C'est ainsi qu'en continuant de la sorte, les valeurs des fractions de Fibonaccis'approchent du nombre d'or (soit 1,618...) lorsque n est très grand.

Cette suite est rencontrée dans un nombre considérable d'éléments de la vie de tous les jours et dans des représentations ou concepts mathématiques qui virent le jour ultérieurement.

voir les spirales de Fibonacci =>

On trouve ces termes dans le nombre de pétales observé en moyenne dans certaines fleurs : les delphiniums ont 5 pétales, les célandines en ont 8, les doubles delphiniums 13 , les asters 21 , les marguerites 34 , les marguerites de Michael 55 ou 89 ...!

On la trouve, encore, en géométrie dans la mesure des cotés des polygones réguliers, en génétique dans la formation des coquilles d'escargot ou de coquillages marins liée à des spirales logarithmiques, en botanique dans l’arrangement des graines de tournesol ou l’enroulement de certaines feuilles de plantes sur leur tige, dans la théorie des nombres, dans le triangle de Pascal ; on observe son utilisation dans les sculptures de Dürer ou dans la représentation du corps humain par Léonard de Vinci et ce, par l’intermédiaire du nombre d’or (F).

Ce nombre est tel que l'on a (F + 1)/F = F

Ce dernier est la racine positive de l’équation

X^2 - X - 1 = 0

C'est également la limite vers laquelle converge le rapport Un/Un+1 de deux termes consécutifs de la suite dont le nombre de propriétés en ont fait une mine pour les analystes et les problémistes.

C’est ainsi que Sam Loyd, par un savant découpage, a vulgarisé une énigme géométrique dans laquelle un rectangle de 13 x 5 possède apparemment le même nombre de carrés unitaires qu’un carré de 8 x 8 ; remarquons que 5, 8 et 13 sont trois termes consécutifs de la suite de Fibonacci : pourriez-vous alors essayer de généraliser la propriété utilisée ? Ce thème fait l'objet de nombreux puzzles commercialisés, en particulier par Sarcone

La suite de Fibonacci a participé à la résolution du dixième problème de David Hilbert (1862-1943) relatif aux équations diophantiennes.