Le polynome X5 – 1 a pour racines les racines 5èmes de l'unité, c'est-à-dire les nombres pour k = 0, 1, 2, 3 et 4 ou bien k = 0, 1, -1, 2 et -2.
On a donc | |
Mais on a aussi | |
D'où l'égalité : | |
En posant | et |
a et b sont donc solutions de l'équation qui a pour solutions et .
D'autre part, on obtient en développant
et |
donc | et | ||
On obtient alors : | et |
On cherche maintenant la valeur de .
On utilise et on obtient d'où .
Or, , donc .
Finalement, on trouve